一元函数微分

$$ f'(x_{0})=\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(x_{0} +\Delta x)-f(x_{0} )}{\Delta x} $$ $$ f'(x_{0})=\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)-f(x_{0} )}{x-x_{0}} $$

奇函数 $$ \ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-\ln(1-x) $$ $$ \frac{1}{a^x+1}-\frac{1}{2} $$

可导充要条件，左右导数存在且相等

F(x) = f(x)|x − a|, f(a) = 0⇔ F(a)在x = a可导

微分概念

dy|_x = x0 = f′(x₀)dx

可导⇔可微

Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) Δy = AΔx + o(Δx) AΔx = f′(x₀)Δx $$ \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\Delta y - A \Delta x}{\Delta x} $$ 极限为零可微

基本求导公式

(x^α)′ = αx^α − 1 (α^x)′ = α^xln α (e^x)′ = e^x $$ (\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a} $$ $$ (\ln|x|)'=\frac{1}{x} $$ (sin x)′ = cos x (cos x)′ = −sin x $$ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} $$ $$ (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} $$ (tan x)′ = sec²x (cot x)′ = −csc²x $$ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} $$ $$ (\text{arccot}\ x)'=\frac{1}{1+x^2} $$ (sec x)′ = sec xtan x (csc x)′ = −csc xcot x $$ \ln(x+\sqrt{ x^2+1 })'=\frac{1}{\sqrt{ x^2+1 }} $$ $$

(x+)‘= (x+)’= $$

四则运算

[u(x) ± v(x)]′ = u(x)′ ± v(x)′ [u(x)v(x)]′ = u(x)′v(x) + u(x)v(x)′ $$ \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]'=\frac{u(x)'v(x)-u(x)v(x)'}{v(x)^2},v(x)\neq 0 $$ 连乘 $$ \prod^{n}_{1=0} $$ ## 反函数的导数 $$ y'_{x}=\frac{1}{x'_{y}} $$ $$ y''_{x x}= -\frac{ x''_{y y }}{(x'_{y})^3} $$ $$ x''_{yy}= -\frac{ y''_{xx }}{(y'_{x})^3} $$

常用高阶求导

(e^ax + b)⁽ⁿ⁾ = aⁿe^ax + b $$ [\sin(ax+b)]^{(n)}=a^n\sin\left( ax+b+\frac{n\pi}{2} \right) $$ $$ [\cos(ax+b)]^{(n)}=a^n\cos\left( ax+b+\frac{n\pi}{2} \right) $$ $$ [\ln(ax+b)]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n \frac{(n-1)!}{(ax+b)^n} $$ $$ \left( \frac{1}{ax+b} \right)^{(n)}=(-1)^na^n \frac{n!}{(ax+b)^{n+1}} $$ ## 莱布尼茨公式 (u ± v)⁽ⁿ⁾ = uⁿ ± vⁿ $$ (uv)^{(n)}=\sum^{n}_{k=0}C_{n}^ku^{(n-k)}v^{(k)} $$

泰勒公式

$$ y=f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n $$ $$ y=f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n $$

已知公式

$$ e^x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} $$ $$ \frac{1}{1+x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^nx^n $$ $$ \frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}x^n=1+x+x^2+x^3+\dots+x^n $$ $$ \ln(1+x)=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} $$ $$ \sin x=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ \cos x=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha+1-n)}{n!}x^n $$ $$ \arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+\dots $$ $$ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\dots $$ $$ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\dots $$

排列组合

$$ 排列的公式：A^m_{n}=\frac{n!}{(n-m)!}（n为下标，m为上标,以下同）。 $$ $$ 组合的公式：C^m_{n}=\frac{n!}{m!(n-m)!} $$