无穷小比阶

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高数笔记

无穷小比阶

趋向零的速度

  • 高阶无穷小
    如果 α 是 β 的高阶无穷小： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0 $$

  • 低阶无穷小
    如果 α 是 β 的低阶无穷小： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty $$

  • 同阶无穷小
    如果 α 和 β 是同阶无穷小： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0 $$

  • 等价无穷小
    如果 α 和 β 是等价无穷小： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 $$ 记为 α(x) ∼ β(x)

  • K阶无穷小
    如果 α 是 βk 的 K阶无穷小： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k} = c \neq 0, k > 0 $$

注意：并不是任意两个无穷小都可以比阶。

常用的等价无穷小（背）

当 x → 0 时： sin x ∼ x,  tan x ∼ x,  arcsin x ∼ x,  arctan x ∼ x,  ln (1 + x) ∼ x $$ e^x-1 \sim x, \quad \alpha^x -1 \sim x\ln \alpha, \quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2, \quad (1 + x)^\alpha -1 \sim \alpha x $$

泰勒公式

对于 f(x) 在 x = 0 处 n阶可导： $$ f(x)=f(0)+f'(x)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n) $$

重要泰勒公式（背）

  • $\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$
  • $\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^3)$
  • $\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$
  • $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$
  • $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
  • $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
  • $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
  • $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
  • $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + o(x^2)$

两个重要极限（背）

  • $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
  • $\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e$
  • $\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1$
  • $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$

不特殊的特殊用法 $$ \lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{2}{x} \right)^x=\lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{1}{\frac{1}{2}x} \right)^{\frac{1}{2}x \cdot 2}=e^2 $$ $$ \Rightarrow \lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{\alpha}{x} \right)^x=e^\alpha $$

无穷小运算

  • 加减法时低阶吸收高阶
  • 乘法阶数累加
  • 非零常数相乘不影响阶数

夹逼准则

  1. h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
  2. lim g(x) = A, lim h(x) = A ⟹ lim f(x) = A

函数极限的计算

  1. 化简
    • 提出极限不为零的因式
    • 等价无穷小代换
    • 恒等变换
  2. 判断运算类型
  3. 选择方法（洛必达法则、泰勒公式、夹逼准则）

函数的连续与间断

  • 两个函数在 x = x0 连续，那么和差积商也连续
  • 复合函数连续
  • 反函数连续

第一类间断点 - 可去间断点，两边不等于 f(x0) - 跳跃间断点，两边不相等

第二类间断点 - 无穷间断点 - 震荡间断点

$$ x \to 0^+,\ (1+x)^ \frac{1}{x}-e \sim-\frac{e}{2}x $$