数列极限

等差数列 a_n = a₁ + (n − 1)d $$ S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n}) $$ 等比数列 a_n = a₁r^n − 1 $$ S_{n}= \left\{ \begin{gather}{} na_{1}, &r=1\\ \frac{a_{1}(1-r^n)}{1-r}, &r\neq 1 \end{gather} \right. $$

常见数列前n项和

$$ \sum^{n}_{k=1}k=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$ $$ \sum^{n}_{k=1}k^2=1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ $$ \sum^{n}_ {k=1} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1} $$

重要数列，单调递增： $$ \lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=e $$

算术平均值大于集合平均值 $$ \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ ab } $$

• 原数列收敛，子列也收敛
• 子列发散，原数列发散
• 两子列收敛到不同极限，原数列发散

lim_{n → ∞}a_n = 0 ⇔ lim_{n → ∞}|a_n| = 0

lim_x → x0f(x) = A ⇔ lim_x → x0|f(x)| = |A| 脱帽法 lim_{n → ∞}x_n > a ⇒ x_n > a 戴帽法 x_n ≥ a ⇒ lim_{n → ∞}x_n ≥ a

和差化积 $$ \sin \alpha +\sin \beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2} $$ $$ \sin \alpha -\sin \beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2} $$ $$ \cos \alpha +\cos \beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2} $$ $$ \cos \alpha -\cos \beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} $$

正余弦公式 sin (α ± β) = sin αcos β ± cos αsin β cos (α + β) = cos αcos β ∓ sin αsin β $$ \tan(\alpha\pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1\mp \tan \alpha \tan \beta} $$

海涅定理（归结原则）

∃lim_x → x0f(x) = A ⇔ ∀x_n∃lim_{xn → x0}f(x_n) = A

夹逼准则

$$ n \cdot u_{\min}\leq \sum^{n}_{i=1}u_{i}\leq n\cdot u_{\max} $$ $$ 1\cdot u_{\max}\leq \sum^{n}_{i=1}u_{i}\leq n\cdot u_{max} $$ $$ \lim_{ n \to \infty }n^ \frac{1}{n}=e^0 =1 $$

$$ \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{\sum^{m}_{i=1}a_{i}^n}=\max \{a_{m}\} $$

$$ 0<a<b \Leftrightarrow 0<\frac{1}{b} <\frac{1}{a} ,\ \lim_{ n \to \infty } (a^{-n}+b^{-n})^ \frac{1}{n}=\frac{1}{a} $$

|a ± b| ≤ |a| + |b| |a₁ ± a₂ ± a₃ ± … ± a_n| ≤ |a₁| + |a₂| + … + |a_n| ||a|−|b|| ≤ |a − b| $$ \sqrt{ ab }\leq \frac{a+b}{2}\leq \sqrt{ \frac{a^2 +b^2}{2}}, \ (a,b\geq 0) $$

$$ |ab|\leq \frac{a^2+b^2}{2} $$

$$ \frac{u_{n}}{n}=u_{n} \cdot \frac{1}{n}\leq \frac{u_{n}^2 +\frac{1}{n}^2}{2}, \ u_{n} > 0 $$

$$ \sqrt[3]{ abc }\leq \frac{a+b+c}{3}\leq \sqrt{ \frac{a^2 +b^2+c^2}{3}}, \ (a,b,c\geq 0) $$

a ≥ b ≥ 0, a^m ≥ b^m(m > 0), a^m ≤ b^m(m < 0)

$$ 0<a<x<b, \ 0<c<y<d \ \Rightarrow \frac{c}{b}< \frac{y}{ x} < \frac{d}{a} $$

$$ \sin x < x < \tan x \left( 0< x < \frac{\pi}{2} \right) $$ sin x < x(x > 0)

$$ x<\tan x< \frac{4}{\pi}x $$ $$ \sin x> \frac{2}{\pi}x $$ arctan x < x < arcsin x e^x ≥ x + 1 ln x < x − 1 $$ \frac{1}{1+x}<\ln\left( 1+ \frac{1}{x} \right)< \frac{1}{x} $$ $$ \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x $$

压缩映射 0 ≤ |x_n + 1 − a| ≤ k|x_n − a|

单调有界必有极限

$$ x_{x+1}-x_{n}> o r <0, \ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}> or <1 $$

f′(x) > 0, x₂ > x₁单增, x₂ < x₁单减 f′(x) < 0, 不单调