函数概念与极限

函数

对数运算法则

商变差，奇变和，幂次变倍数

$$ \left\{ \begin{array}{} \ln ab = \ln a + \ln b, & \\ \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b, & \\ \ln a^b = b \ln a, & \end{array} \right. $$

反双曲正弦函数

$$ \operatorname{arsinh} = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right) $$

双曲余弦函数（悬链线）偶函数

$$ \sinh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$

定义域

$$ \left\{ \begin{array}{} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ \sqrt[2n]{x}, & x \geq 0 \\ \log_{n} x, & x > 0 \\ \arcsin x, \arccos x, & -1 \leq x \leq 1 \\ \tan x, & x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} \\ \cot x, & x \neq k\pi \end{array} \right. $$

性质

1. 奇偶性
   • 内偶则偶，内奇同外
   • 可导函数求导奇偶互换
2. 周期
   • 三角函数：奇变偶不变，符号看象限

极限

lim_{x → −∞}e^x = 0, lim_{x → +∞}e^x = +∞

e^x_a − 1 = e^x_a − e⁰

e^tan x − e^sin x = e^sin x(e^{tan x − sin x} − 1)

特殊函数值

ln 1 = 0, ln e = 1

判断反函数

a = f(f⁻¹(a))  存在反函数 ⇒ f⁻¹(f(a))

常考对数运算（幂次变倍数）

$$ \begin{gather} \ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x, \\ \ln \frac{1}{x} = -\ln x \end{gather} $$

拉格朗日中值定理

下式先通分再商变差：

$$ \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = \ln \frac{x + 1}{x} = \ln (x + 1) - \ln x $$

自然常数

$$ e = \sum^{\infty}_{n=0} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n $$

三角函数

正余弦

$$ \left\{ \begin{array}{} \sin x, & T = 2\pi, & x \in (-\infty, \infty), & y \in [-1, 1], & x = 0, y = 0 \\ \cos x, & T = 2\pi, & x \in (-\infty, \infty), & y \in [-1, 1], & x = 0, y = 1 \end{array} \right. $$

sin²α + cos²α = 1

正余切

$$ \left\{ \begin{array}{} \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \\ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x} \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{} \tan x, & T = \pi, & x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z}), & y \in (-\infty, +\infty), & x = 0, y = 0 \\ \cot x, & T = \pi, & x \neq k\pi (k \in \mathbb{Z}), & y \in (-\infty, +\infty), & x = \frac{\pi}{2}, y = 0 \end{array} \right. $$

正余割

$$ \left\{ \begin{array}{} 偶函数 \ \sec x = \frac{1}{\cos x}, \\ 奇函数 \ \csc x = \frac{1}{\sin x} \end{array} \right. $$

1 + tan²α = sec²α,  1 + cot²α = csc²α

反三角函数

恒等式

sin (arcsin x) = x,  cos (arccos x) = x

$$ \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2} = \cos(\arcsin x) $$

推导

$$ t = \arccos x, \quad \sin t = \sqrt{1 - \cos^2 t} $$

$$ \arcsin(\sin y) = y, \quad y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $$

arccos (cos y) = y,  y ∈ [0, π]

$$ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \quad (-1 \leq x \leq 1) $$

$$ \arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} \quad (-\infty < x < +\infty) $$

函数极限

常数a是数列{x_n}的极限，或者数列x_n收敛于a, 记为

lim_{n → ∞}x_n = a

邻域

U(x₀, δ), δ 邻域的半径, x₀ 邻域的中心

Ů(x₀, δ) 去心邻域

右δ 邻域U⁺(x₀, δ)，左δ 邻域U⁻(x₀, δ)

∀ Arbitrary, ∃ Exist

∀M > 0, ∃δ > 0,  当 0 < |x − x₀| < δ,  有 |f(x)| > M

例题 1.14

$$ \exists \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}, f(x) = \frac{x - \sin x}{x} + x^2 \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - \cos x} $$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = $$

解：

$$ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2 \Rightarrow \frac{f(x)}{x^2} = \frac{x - \sin x}{x^3} + \lim_{x \to 0} \frac{2 f(x)}{x^2} $$

$$ \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} + \lim_{x \to 0} \frac{2 f(x)}{x^2} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = -\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = -\frac{1}{6} $$

注意：

$$ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2, \frac{x - \sin x}{x^3} \sim \frac{1}{6}, \frac{\sin x}{x} \sim 1 $$

性质

唯一性：

如果∃lim_x → x0f(x),  极限唯一

lim_x → x0f(x) = A ⇔ f(x) = A + α(x),  lim_x → x0α(x) = 0

例题 1.10

$$ \lim_{x \to -1} f(x) = \frac{|x|^x - 1}{x(x + 1) \ln |x|} = $$

解：

$$ \lim_{x \to -1} f(x) = \frac{e^{x \ln |x|} - 1}{x(x + 1) \ln |x|} = \frac{x \ln |x|}{x(x + 1) \ln |x|} = \frac{1}{x + 1} $$

lim_{x → −1⁺}f(x) = +∞

lim_{x → −1⁻}f(x) = −∞

因此 : lim_{x → −1}f(x) = ∞

注意：

e^x − 1 ∼ x,  |x|^x = e^xln |x|

例题 1.11

$$ \exists \ f(x) = 2x + \sqrt{x^2 + 2x + 1}, \quad g(x) = \left\{ \begin{array}{} x + 2, & x \geq 0 \\ x - 1, & x < 0 \end{array} \right. $$

$$ \lim_{x \to -\frac{1}{3}} g[f(x)] = $$

解：

$$ \begin{gather} \lim_{x \to -\frac{1}{3}} g[f(x)] = \left\{ \begin{array}{} 3x + 3, & x \geq -\frac{1}{3} \\ 3x, & -1 \leq x < -\frac{1}{3} \\ x - 2, & x < -1 \end{array} \right. \end{gather} $$

$$ \begin{gather} \Rightarrow \lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} g[f(x)] = 2 \neq \lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} g[f(x)] = -1 \end{gather} $$

$$ 因此 \nexists \lim_{x \to -\frac{1}{3}} g[f(x)] $$

注意：

$$ \sqrt{x^2 + 2x + 1} = |x + 1| $$

局部有界性

|f(x)| = |f(x) − A + A| ≤ |f(x) − A| + |A|

∃lim_{x → a⁺}f(x),  ∃lim_{x → b⁻}f(x),  f(x) ∈ (a, b) 有界

局部保号性

脱帽严格不等：

lim_x → x0f(x) > 0 ⇒ f > 0,  lim_x → x0f(x) < 0 ⇒ f < 0

戴帽非严格不等：

f ≥ 0 ⇒ lim_x → x0f(x) ≥ 0,  f ≤ 0 ⇒ lim_x → x0f(x) ≤ 0

无穷小

lim_x → x0f(x) = 0

1. 有限个无穷小的和是无穷小，无穷个无穷小的和不一定是无穷小。

注意：

$$ \lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{i=1} \frac{1}{n + i} = \ln 2 $$

2. 有界函数和无穷小的乘积是无穷小

∃|α₁| < M,  ∃α₂ → 0

 ⇒ |α₁ ⋅ α₂| = |α₁| ⋅ |α₂| ≤ M|α₂| → 0

注意：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot x = 1 $$

1. 有限个无穷小的乘积是无穷小