无穷小比阶

无穷小比阶

趋向零的速度

• 高阶无穷小
  如果 $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小： $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$$

• 低阶无穷小
  如果 $\alpha$ 是 $\beta$ 的低阶无穷小： $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\mathrm{\infty }$$

• 同阶无穷小
  如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是同阶无穷小： $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=c\ne 0$$

• 等价无穷小
  如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是等价无穷小： $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$$ 记为 $\alpha (x)\sim \beta (x)$

• K 阶无穷小
  如果 $\alpha$ 是 ${\beta }^k$ 的 K 阶无穷小： $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\alpha (x)}{[\beta (x){]}^k}=c\ne 0,k>0$$

注意：并不是任意两个无穷小都可以比阶。

常用的等价无穷小（背）

当 $x\to 0$ 时： $$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x,\ln (1+x)\sim x$$ $$e^x-1\sim x,{\alpha }^x-1\sim x\ln \alpha ,1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$$

泰勒公式

对于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 n 阶可导： $$f(x)=f(0)+f^{\prime }(x)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

重要泰勒公式（背）

• $\sin x=x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$
• $\sec x=1+\frac{x^2}{2}+o(x^3)$
• $\arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$
• $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
• $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$

两个重要极限（背）

• $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\sin \frac{1}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

不特殊的特殊用法 $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{2}{x})}^x=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{\frac{1}{2}x})}^{\frac{1}{2}x\cdot 2}=e^2$$ $$\Rightarrow \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{\alpha }{x})}^x=e^{\alpha }$$

无穷小运算

• 加减法时低阶吸收高阶
• 乘法阶数累加
• 非零常数相乘不影响阶数

夹逼准则

1. $h(x)\le f(x)\le g(x)$
2. $limg(x)=A,limh(x)=A⟹limf(x)=A$

函数极限的计算

1. 化简
   • 提出极限不为零的因式
   • 等价无穷小代换
   • 恒等变换
2. 判断运算类型
3. 选择方法（洛必达法则、泰勒公式、夹逼准则）

函数的连续与间断

• 两个函数在 $x=x_0$ 连续，那么和差积商也连续
• 复合函数连续
• 反函数连续

第一类间断点 - 可去间断点，两边不等于 $f(x_0)$ - 跳跃间断点，两边不相等

第二类间断点 - 无穷间断点 - 震荡间断点

$$x\to 0^{+},(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e\sim -\frac{e}{2}x$$