无穷小比阶

无穷小比阶

趋向零的速度

• 高阶无穷小
  如果 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的高阶无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0 \]

• 低阶无穷小
  如果 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的低阶无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty \]

• 同阶无穷小
  如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是同阶无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0 \]

• 等价无穷小
  如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是等价无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 \] 记为 \(\alpha(x) \sim \beta(x)\)

• K阶无穷小
  如果 \(\alpha\) 是 \(\beta^k\) 的 K阶无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k} = c \neq 0, k > 0 \]

注意：并不是任意两个无穷小都可以比阶。

常用的等价无穷小（背）

当 \(x \to 0\) 时： \[ \sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x, \quad \ln(1+x) \sim x \] \[ e^x-1 \sim x, \quad \alpha^x -1 \sim x\ln \alpha, \quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2, \quad (1 + x)^\alpha -1 \sim \alpha x \]

泰勒公式

对于 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处 n阶可导： \[ f(x)=f(0)+f'(x)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n) \]

重要泰勒公式（背）

• \(\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)\)
• \(\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^3)\)
• \(\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)\)
• \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)\)
• \(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
• \(\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
• \(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
• \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)\)
• \((1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + o(x^2)\)

两个重要极限（背）

• \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
• \(\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e\)
• \(\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1\)
• \(\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e\)

不特殊的特殊用法 \[ \lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{2}{x} \right)^x=\lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{1}{\frac{1}{2}x} \right)^{\frac{1}{2}x \cdot 2}=e^2 \] \[ \Rightarrow \lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{\alpha}{x} \right)^x=e^\alpha \]

无穷小运算

• 加减法时低阶吸收高阶
• 乘法阶数累加
• 非零常数相乘不影响阶数

夹逼准则

1. \(h(x) \leq f(x) \leq g(x)\)
2. \(\lim g(x) = A, \lim h(x) = A \implies \lim f(x) = A\)

函数极限的计算

1. 化简
   • 提出极限不为零的因式
   • 等价无穷小代换
   • 恒等变换
2. 判断运算类型
3. 选择方法（洛必达法则、泰勒公式、夹逼准则）

函数的连续与间断

• 两个函数在 \(x=x_0\) 连续，那么和差积商也连续
• 复合函数连续
• 反函数连续

第一类间断点 - 可去间断点，两边不等于 \(f(x_0)\) - 跳跃间断点，两边不相等

第二类间断点 - 无穷间断点 - 震荡间断点

\[ x \to 0^+,\ (1+x)^ \frac{1}{x}-e \sim-\frac{e}{2}x \]