一元函数微分

\[ f'(x_{0})=\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(x_{0} +\Delta x)-f(x_{0} )}{\Delta x} \] \[ f'(x_{0})=\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)-f(x_{0} )}{x-x_{0}} \]

奇函数 \[ \ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-\ln(1-x) \] \[ \frac{1}{a^x+1}-\frac{1}{2} \]

可导充要条件，左右导数存在且相等

\[ F(x)=f(x)|x-a|, \ f(a)=0 \Leftrightarrow \ F(a)在x=a可导 \]

微分概念

\[ dy\big| _{x=x_{0}}=f'(x_{0})dx \]

可导\(\Leftrightarrow\)可微

\[ \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \] \[ \Delta y=A \Delta x+o( \Delta x) \] \[ A \Delta x=f'(x_{0})\Delta x \] \[ \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\Delta y - A \Delta x}{\Delta x} \] 极限为零可微

基本求导公式

\[ (x^\alpha)'= \alpha x^{\alpha -1} \] \[ (\alpha^x)'=\alpha^x\ln \alpha \] \[ (e^x)'=e^x \] \[ (\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a} \] \[ (\ln|x|)'=\frac{1}{x} \] \[ (\sin x)'=\cos x \] \[ (\cos x)'=-\sin x \] \[ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} \] \[ (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} \] \[ (\tan x)'=\sec^2x \] \[ (\cot x)'=-\csc^2x \] \[ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} \] \[ (\text{arccot}\ x)'=\frac{1}{1+x^2} \] \[ (\sec x)'=\sec x \tan x \] \[ (\csc x)'=-\csc x\cot x \] \[ \ln(x+\sqrt{ x^2+1 })'=\frac{1}{\sqrt{ x^2+1 }} \] $$

(x+)'= \[ \] (x+)'= $$

四则运算

\[ [u(x)\pm v(x)]'=u(x)'\pm v(x)' \] \[ [u(x)v(x)]'=u(x)'v(x)+u(x)v(x)' \] \[ \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]'=\frac{u(x)'v(x)-u(x)v(x)'}{v(x)^2},v(x)\neq 0 \] 连乘 \[ \prod^{n}_{1=0} \] ## 反函数的导数 \[ y'_{x}=\frac{1}{x'_{y}} \] \[ y''_{x x}= -\frac{ x''_{y y }}{(x'_{y})^3} \] \[ x''_{yy}= -\frac{ y''_{xx }}{(y'_{x})^3} \]

常用高阶求导

\[ (e^{ax+b})^{(n)}=a^n e^{ax+b} \] \[ [\sin(ax+b)]^{(n)}=a^n\sin\left( ax+b+\frac{n\pi}{2} \right) \] \[ [\cos(ax+b)]^{(n)}=a^n\cos\left( ax+b+\frac{n\pi}{2} \right) \] \[ [\ln(ax+b)]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n \frac{(n-1)!}{(ax+b)^n} \] \[ \left( \frac{1}{ax+b} \right)^{(n)}=(-1)^na^n \frac{n!}{(ax+b)^{n+1}} \] ## 莱布尼茨公式 \[ (u\pm v)^{(n)}=u^n\pm v^n \] \[ (uv)^{(n)}=\sum^{n}_{k=0}C_{n}^ku^{(n-k)}v^{(k)} \]

泰勒公式

\[ y=f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n \] \[ y=f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n \]

已知公式

\[ e^x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} \] \[ \frac{1}{1+x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^nx^n \] \[ \frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}x^n=1+x+x^2+x^3+\dots+x^n \] \[ \ln(1+x)=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} \] \[ \sin x=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] \[ \cos x=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \] \[ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha+1-n)}{n!}x^n \] \[ \arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+\dots \] \[ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\dots \] \[ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\dots \]

排列组合

\[ 排列的公式：A^m_{n}=\frac{n!}{(n-m)!}（n为下标，m为上标,以下同）。 \] \[ 组合的公式：C^m_{n}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]