jp-24-8-8

\[ f'(x_{0})=\lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(x_{0} +\Delta x)-f(x_{0} )}{\Delta x} \] \[ f'(x_{0})=\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)-f(x_{0} )}{x-x_{0}} \]

奇函数 \[ \ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-\ln(1-x) \] \[ \frac{1}{a^x+1}-\frac{1}{2} \]

可导充要条件，左右导数存在且相等

\[ F(x)=f(x)|x-a|, \ f(a)=0 \Leftrightarrow \ F(a)在x=a可导 \]

微分概念

\[ dy\big| _{x=x_{0}}=f'(x_{0})dx \]

可导\(\Leftrightarrow\)可微

\[ \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \] \[ \Delta y=A \Delta x+o( \Delta x) \] \[ A \Delta x=f'(x_{0})\Delta x \] \[ \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{\Delta y - A \Delta x}{\Delta x} \] 极限为零可微

基本求导公式

\[ (x^\alpha)'= \alpha x^{\alpha -1} \] \[ (\alpha^x)'=\alpha^x\ln \alpha \] \[ (e^x)'=e^x \] \[ (\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a} \] \[ (\ln|x|)'=\frac{1}{x} \] \[ (\sin x)'=\cos x \] \[ (\cos x)'=-\sin x \] \[ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} \] \[ (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} \] \[ (\tan x)'=\sec^2x \] \[ (\cot x)'=-\csc^2x \] \[ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} \] \[ (\text{arccot}\ x)'=\frac{1}{1+x^2} \] \[ (\sec x)'=\sec x \tan x \] \[ (\csc x)'=-\csc x\cot x \] \[ \ln(x+\sqrt{ x^2+1 })'=\frac{1}{\sqrt{ x^2+1 }} \] $$

(x+)'= \[ \] (x+)'= $$

四则运算

\[ [u(x)\pm v(x)]'=u(x)'\pm v(x)' \] \[ [u(x)v(x)]'=u(x)'v(x)+u(x)v(x)' \] \[ \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]'=\frac{u(x)'v(x)-u(x)v(x)'}{v(x)^2},v(x)\neq 0 \] 连乘 \[ \prod^{n}_{1=0} \] ## 反函数的导数 \[ y'_{x}=\frac{1}{x'_{y}} \] \[ y''_{x x}= -\frac{ x''_{y y }}{(x'_{y})^3} \] \[ x''_{yy}= -\frac{ y''_{xx }}{(y'_{x})^3} \]

常用高阶求导

\[ (e^{ax+b})^{(n)}=a^n e^{ax+b} \] \[ [\sin(ax+b)]^{(n)}=a^n\sin\left( ax+b+\frac{n\pi}{2} \right) \] \[ [\cos(ax+b)]^{(n)}=a^n\cos\left( ax+b+\frac{n\pi}{2} \right) \] \[ [\ln(ax+b)]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n \frac{(n-1)!}{(ax+b)^n} \] \[ \left( \frac{1}{ax+b} \right)^{(n)}=(-1)^na^n \frac{n!}{(ax+b)^{n+1}} \] ## 莱布尼茨公式 \[ (u\pm v)^{(n)}=u^n\pm v^n \] \[ (uv)^{(n)}=\sum^{n}_{k=0}C_{n}^ku^{(n-k)}v^{(k)} \]

泰勒公式

\[ y=f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n \] \[ y=f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n \]

已知公式

\[ e^x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} \] \[ \frac{1}{1+x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^nx^n \] \[ \frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}x^n=1+x+x^2+x^3+\dots+x^n \] \[ \ln(1+x)=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} \] \[ \sin x=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] \[ \cos x=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \] \[ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha+1-n)}{n!}x^n \] \[ \arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+\dots \] \[ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\dots \] \[ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\dots \]

排列组合

\[ 排列的公式：A^m_{n}=\frac{n!}{(n-m)!}（n为下标，m为上标,以下同）。 \] \[ 组合的公式：C^m_{n}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

等差数列 \[ a_{n}=a_{1}+(n-1)d \] \[ S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n}) \] 等比数列 \[ a_{n}=a_{1}r^{n-1} \] \[ S_{n}= \left\{ \begin{gather}{} na_{1}, &r=1\\ \frac{a_{1}(1-r^n)}{1-r}, &r\neq 1 \end{gather} \right. \]

常见数列前n项和

\[ \sum^{n}_{k=1}k=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2} \] \[ \sum^{n}_{k=1}k^2=1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] \[ \sum^{n}_ {k=1} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1} \]

重要数列，单调递增： \[ \lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=e \]

算术平均值大于集合平均值 \[ \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ ab } \]

• 原数列收敛，子列也收敛
• 子列发散，原数列发散
• 两子列收敛到不同极限，原数列发散

\[ \lim_{ n \to \infty } a_{n}= 0 \Leftrightarrow \lim_{ n \to \infty } |a_{n}|= 0 \]

\[ \lim_{ x \to x_{0} } f(x) =A \Leftrightarrow \lim_{ x \to x_{0} } |f(x)|=|A| \] 脱帽法 \[ \lim_{ n \to \infty } x_{n}>a \Rightarrow x_{n}>a \] 戴帽法 \[ x_{n}\geq a \Rightarrow \lim_{ n \to \infty } x_{n}\geq a \]

和差化积 \[ \sin \alpha +\sin \beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2} \] \[ \sin \alpha -\sin \beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \] \[ \cos \alpha +\cos \beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2} \] \[ \cos \alpha -\cos \beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]

正余弦公式 \[ \sin(\alpha\pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \] \[ \cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \] \[ \tan(\alpha\pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1\mp \tan \alpha \tan \beta} \]

海涅定理（归结原则）

\[ \exists \lim_{ x \to x_{0} } f(x)=A \Leftrightarrow \forall x_{n} \exists \lim_{ x_{n} \to x_{0} }f(x_{n})=A \]

夹逼准则

\[ n \cdot u_{\min}\leq \sum^{n}_{i=1}u_{i}\leq n\cdot u_{\max} \] \[ 1\cdot u_{\max}\leq \sum^{n}_{i=1}u_{i}\leq n\cdot u_{max} \] \[ \lim_{ n \to \infty }n^ \frac{1}{n}=e^0 =1 \]

\[ \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{\sum^{m}_{i=1}a_{i}^n}=\max \{a_{m}\} \]

\[ 0<a<b \Leftrightarrow 0<\frac{1}{b} <\frac{1}{a} ,\ \lim_{ n \to \infty } (a^{-n}+b^{-n})^ \frac{1}{n}=\frac{1}{a} \]

\[ |a\pm b|\leq|a|+|b| \] \[ |a_{1}\pm a_{2}\pm a_{3}\pm\dots\pm a_{n}|\leq|a_{1}|+|a_{2}|+\dots+|a_{n}| \] \[ ||a|-|b||\leq |a-b| \] \[ \sqrt{ ab }\leq \frac{a+b}{2}\leq \sqrt{ \frac{a^2 +b^2}{2}}, \ (a,b\geq 0) \]

\[ |ab|\leq \frac{a^2+b^2}{2} \]

\[ \frac{u_{n}}{n}=u_{n} \cdot \frac{1}{n}\leq \frac{u_{n}^2 +\frac{1}{n}^2}{2}, \ u_{n} > 0 \]

\[ \sqrt[3]{ abc }\leq \frac{a+b+c}{3}\leq \sqrt{ \frac{a^2 +b^2+c^2}{3}}, \ (a,b,c\geq 0) \]

\[ a\geq b\geq 0, \ a^m\geq b^m(m>0), \ a^m\leq b^m(m<0) \]

\[ 0<a<x<b, \ 0<c<y<d \ \Rightarrow \frac{c}{b}< \frac{y}{ x} < \frac{d}{a} \]

\[ \sin x < x < \tan x \left( 0< x < \frac{\pi}{2} \right) \] \[ \sin x<x(x>0) \]

\[ x<\tan x< \frac{4}{\pi}x \] \[ \sin x> \frac{2}{\pi}x \] \[ \arctan x < x< \arcsin x \] \[ e^x\geq x+1 \] \[ \ln x < x -1 \] \[ \frac{1}{1+x}<\ln\left( 1+ \frac{1}{x} \right)< \frac{1}{x} \] \[ \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x \]

压缩映射 \[ 0\leq |x_{n+1}-a|\leq k|x_{n}-a| \]

单调有界必有极限

\[ x_{x+1}-x_{n}> o r <0, \ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}> or <1 \]

\[ f'(x)>0, \ x_{2}>x_{1}单增, \ x_{2}<x_{1}单减 \] \[ f'(x)<0, \ 不单调 \]

无穷小比阶

趋向零的速度

• 高阶无穷小
  如果 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的高阶无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0 \]

• 低阶无穷小
  如果 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的低阶无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty \]

• 同阶无穷小
  如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是同阶无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0 \]

• 等价无穷小
  如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是等价无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 \] 记为 \(\alpha(x) \sim \beta(x)\)

• K阶无穷小
  如果 \(\alpha\) 是 \(\beta^k\) 的 K阶无穷小： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k} = c \neq 0, k > 0 \]

注意：并不是任意两个无穷小都可以比阶。

常用的等价无穷小（背）

当 \(x \to 0\) 时： \[ \sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x, \quad \ln(1+x) \sim x \] \[ e^x-1 \sim x, \quad \alpha^x -1 \sim x\ln \alpha, \quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2, \quad (1 + x)^\alpha -1 \sim \alpha x \]

泰勒公式

对于 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处 n阶可导： \[ f(x)=f(0)+f'(x)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n) \]

重要泰勒公式（背）

• \(\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)\)
• \(\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^3)\)
• \(\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)\)
• \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)\)
• \(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
• \(\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
• \(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
• \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)\)
• \((1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + o(x^2)\)

两个重要极限（背）

• \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
• \(\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e\)
• \(\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1\)
• \(\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e\)

不特殊的特殊用法 \[ \lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{2}{x} \right)^x=\lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{1}{\frac{1}{2}x} \right)^{\frac{1}{2}x \cdot 2}=e^2 \] \[ \Rightarrow \lim_{ x \to \infty } \left( 1+\frac{\alpha}{x} \right)^x=e^\alpha \]

无穷小运算

• 加减法时低阶吸收高阶
• 乘法阶数累加
• 非零常数相乘不影响阶数

夹逼准则

1. \(h(x) \leq f(x) \leq g(x)\)
2. \(\lim g(x) = A, \lim h(x) = A \implies \lim f(x) = A\)

函数极限的计算

1. 化简
   • 提出极限不为零的因式
   • 等价无穷小代换
   • 恒等变换
2. 判断运算类型
3. 选择方法（洛必达法则、泰勒公式、夹逼准则）

函数的连续与间断

• 两个函数在 \(x=x_0\) 连续，那么和差积商也连续
• 复合函数连续
• 反函数连续

第一类间断点 - 可去间断点，两边不等于 \(f(x_0)\) - 跳跃间断点，两边不相等

第二类间断点 - 无穷间断点 - 震荡间断点

\[ x \to 0^+,\ (1+x)^ \frac{1}{x}-e \sim-\frac{e}{2}x \]

动词变形

单词变形规则

在日语键盘中，ltsu 为 っ。例如：

• スイッチ (switch) 的罗马音为 すいっち。

常用词汇

时间和日期

其他常用词汇

时间表达

分钟表达

Ranger 快捷键

Ranger 是一个命令行文件管理器

s: 打开 shell

按 s 键可以直接在当前目录打开一个 shell，非常方便执行一些临时命令。

[ 和 ]: 切换父目录

按 [ 键可以切换到上一个父目录，按 ] 键则切换到下一个父目录。

使用书签标记目录

• m + somekey: 添加书签
  • 按 m 键后再按任意一个键（作为书签的标识），即可将当前目录添加到书签中。
• um + somekey: 删除书签
  • 按 um 键后再按书签标识键，即可删除对应的书签。
• ` + somekey: 打开书签
  • 按 ` 键（位于 ~ 键下方）后再按书签标识键，即可打开对应的书签目录。

类似 Vim 的快捷键

Ranger 的导航和操作方式与 Vim 类似，以下是几组常用的快捷键：

导航

• h: 左移（进入上级目录）
• j: 下移（选择下一个文件/目录）
• k: 上移（选择上一个文件/目录）
• l: 右移（进入下级目录）

剪切、删除、粘贴和复制

• dd: 剪切（移动文件/目录）

  • dD: 删除（删除文件/目录）

• pp: 粘贴（将剪切/复制的文件/目录粘贴到当前目录）

• yy: 复制（拷贝文件/目录）

只通过这一小部分快捷键，足够让你可以像在 Vim 中编译文件一样高效地操作目录。

使用 Docker 运行 MySQL

1. 快速启动 MySQL 容器

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sudo docker run -p 3306:3306 --name mysql -e MYSQL_ROOT_PASSWORD=123456 -d mysql:latest

• 使用 -p 3306:3306 将主机的 3306 端口映射到容器的 3306 端口。
• 使用 --name mysql 为容器命名为 mysql。
• 使用 -e MYSQL_ROOT_PASSWORD=123456 设置 MySQL 的 root 用户密码为 123456。
• 使用 -d mysql:latest 后台运行最新版本的 MySQL。

2. 使用挂载卷启动

持久化数据和配置

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sudo docker run --name mysql \
-p 3306:3306 \
-v /usr/local/docker/mysql/conf:/etc/mysql \
-v /usr/local/docker/mysql/logs:/var/log/mysql \
-v /usr/local/docker/mysql/data:/var/lib/mysql \
-e MYSQL_ROOT_PASSWORD=123456 \
-d mysql:latest

3. 进入 MySQL 容器

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sudo docker exec -it mysql bash
mysql -uroot -p123456

• sudo docker exec -it mysql bash 命令进入名为 mysql 的容器的 bash 环境。
• mysql -uroot -p123456 命令使用 root 用户登录 MySQL，密码为 123456。

4. 从本地复制文件到容器

如果需要将本地文件复制到容器中，可以使用以下命令：

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docker cp 本地文件路径 ID全称:容器路径
docker cp /path/to/file.sql mysql:/root

5. 在 MySQL 中创建数据库和导入数据

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mysql> create database name;
mysql> use name;
mysql> set names utf8;
mysql> source /name.sql;

最近玩osu由于flag显示🇯🇵被误认为jp，真就非常尴尬，想当初刚注册osu时，地区好像还是在cn。之后修改使用设备的时候，注意到个人信息地区能更换，为了好玩就该去故乡，结果再想改却改不了。进论坛查了一会儿才知道osu的flag是跟着ip走，由于需要ip在同一国家长期停留，大部分玩家都觉得flag改不了😂。我能改是因为ip经常在日本，并且在体感上是保持了一年多，纯粹是碰着巧了。

不同色调的红色

• 红色 (Red)
• 粉红 (Pink)
• 红褐色 (Sorrel)
• 绯红 (Scarlet)
• 紫红 (Purplish Red)
• 酒红 (Wine Red)
• 土红 (Reddle)
• 深紫红 (Prune)
• 淡红 (Pale Red)
• 朱红色 (Vermilion)
• 玫瑰红 (Rosy)
• 橘红 (Jacinth)
• 血红 (Blood-red)
• 草莓红 (Strawberry Red)
• 脸红的 (Blushing)
• 腥红 (Crimson)
• 珊瑚红 (Coral)

more

Encycolorpedia一个提供颜色代码和颜色匹配称呼的网站

• 颜色代码查询：通过输入颜色代码（如 HEX、RGB）来获取详细的颜色信息。
• 命名颜色：列出了具有特定名称的颜色及其代码。

Match The Colors - Retryables匹配给定的颜色的在线游戏

• 游戏玩法：使用三个滑块来调整 RGB 颜色值，尽量匹配提供的目标颜色。